“The integer numbers have been made by God, everything else is the work of man” ಎಂದಿದ್ದ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲೊಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೊನೆಕಲ್. ಗಣಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೇ ಆಧಾರ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದ ಆತ. ಆತನ ನಂಬಿಕೆಗೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿರದಿದ್ದರೂ ವಿಶ್ವದ ಬಹಳಷ್ಟು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಗಣಿತದ ವಿಚಾರ ಬಹುವಾಗಿ ಕಾಡಿತ್ತು, ಅದೆಂದರೆ ಅನಂತವೆಂಬ ಕಲ್ಪನೆ. ವಿಜ್ಞಾನಿ, ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಕವಿಗಳಿಗೂ ಸ್ಪೂರ್ತಿದಾಯಕವಾದ ಕಲ್ಪನೆ. “ಬೇರೆ ಯಾವ ಪ್ರಶ್ನೆಯೂ ಮಾನವನ ಅಂತರಂಗವನ್ನು ಅನಂತದಷ್ಟು ಗಾಢವಾಗಿ ತಟ್ಟಿಲ್ಲ!” ಎಂದು ಉದ್ಗರಿಸುತ್ತಾನೆ ಗಣಿತಜ್ಞ ಡೇವುಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್. ಅನಂತವೆಂಬುದು ಅತ್ಯಂದ ಸುಂದರ, ರೋಚಕವಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ನಿಗೂಢವೂ ಆದ ಕಲ್ಪನೆ.
ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಛೇದವು ಚರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಚರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಲೆ ಚಿಕ್ಕದಾದಂತೆಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಬೆಲೆ ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಚರ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯದೆಡೆ ಸಾಗಿದಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅನಂತದೆಡೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ ಚರ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತದೆಡೆ ಸಾಗಿದಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಶೂನ್ಯದೆಡೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ.ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂಶದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಲಿ, ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲಿ ಅದು ಗಣನೆಗೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ ನಿಮ್ಮೆದುರು ಇರುವ ವಸ್ತುವೊಂದನ್ನು ಅನಂತ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಉದ್ದ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ೧೫ ಸೆಂ.ಮೀ.ನ ಅಂಕಪಟ್ಟಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ೧೫ ಕಿ.ಮೀ. ಉದ್ದದ ಬೆಟ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು, ಅದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಇಂದಿನಿಂದ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತೀರೋ, ನಾಳೆಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸುತ್ತೀರೋ, ನಿನ್ನೆಯೇ ಆರಂಭಿಸಿದ್ದೀರೋ ಎಂಬುದೂ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಶೂನ್ಯವಾದ ಅಳತೆ ಪಡೆಯಲು ಎಂದಿಗೂ ಮುಗಿಯದಂತೆ ತುಂಡರಿಸುತ್ತಲೇ ಇರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮಾತ್ರ ಸೋಜಿಗ!
ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧ(bijection) ಎಂಬುದು ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ವಿಚಾರ.ಎರಡು ಗಣಗಳ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ(ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆ,cardinality) ಸಮವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧ ಸಾಧ್ಯ. ಎರಡು ಪರಿಮಿತ ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಶುದ್ಧ ಉಪಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶುದ್ಧ ಉಪಗಣವಾಗಿದ್ದರೂ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧವಿದೆ! ಈ ಎರಡೂ ಗಣಗಳ ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತವಾಗಿರುವುದೇ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು: ಒಂದು ನಗರವೊಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಒಂದು ಅತಿಥಿ ಗೃಹವಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ವಿಷೇಷವೆಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಕೋಣೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಭರ್ತಿಯಾಗಿವೆ. ಆಗ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೊಸ ಅತಿಥಿಯೊಬ್ಬ ಬಂದು ಕೋಣೆ ನೀಡುವಂತೆ ಕೇಳುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ತುಂಬಾ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾದ್ದರಿಂದ ಕೋರಿಕೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವಂತೆಯೂ ಇಲ್ಲ, ಕೊಡಲು ಕೋಣೆಯೂ ಖಾಲಿಯಿಲ್ಲ. ಮಾಲಿಕ ಚಿಂತೆಗೊಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆತ ಬೀರ್‌‍ಬಲ್‍ಗಿಂತಲೂ ಬುದ್ಧಿವಂತ. ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಹಿಡಿದೇ ಬಿಡುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲನೇ ಕೋಣೆಯವನನ್ನು ಎರಡನೇ ಕೋಣೆಗೆ, ಎರಡನೆಯವನನ್ನು ಮೂರನೇ ಕೋಣೆಗೆ ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನನ್ನೂ ಪಕ್ಕದ ಕೋಣೆಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತಾನೆ. ಖಾಲಿಯಾದ ಮೊದಲ ಕೋಣೆಯನ್ನು ಹೊಸ ಅತಿಥಿಗೆ ಕೊಡುತ್ತಾನೆ!
ಇದೇ ತತ್ವದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಕಲ್ಪನೆ ‘ಟ್ರ್ಯೆಸ್ಟಮ್ ಶ್ಯಾಂಡಿ ಅಸಂಗತ(paradox)’. ಟ್ರ್ಯೆಸ್ಟಮ್ ಶ್ಯಾಂಡಿ ಒಬ್ಬ ಉತ್ತಮ ಲೇಖಕ, ಚಿರಂಜೀವಿ ಕೂಡ.ಆದರೆ ಬಹಳ ನಿಧಾನಿ. ಅವನು ತನ್ನ ಆತ್ಮಚರಿತ್ರೆ ಬರೆಯಲಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಆತ ಒಂದು ದಿನದ ಕಥೆ ಬರೆಯಲು ಒಂದು ವರ್ಷ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಆತ ಕಥೆ ಮುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದು ಜಿಜ್ಞಾಸೆ. ಆತ ಒಂದು ದಿನದ ಬಗೆಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಉಳಿದ ೩೬೪ ದಿನವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡುತ್ತಾನೆ,. ಆದ್ಧರಿಂದ ಅದನ್ನು ಮುಗಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಎನ್ನಬಹುದು. ಆದರೆ ಅನಂತವು ಆ ಲೇಖಕನ ಕನಸನ್ನು ಸಾಕಾರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ದಿನಗಳ ಬಗೆಗೆ ಬರೆಯಲು ಅನಂತವಾದ ಸಮಯ ಬೇಕು. ಆತನ ಬಳಿ ಅನಂತ ವರ್ಷಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಮೊದಲನೆಯ ದಿನವನ್ನು ಮೊದಲನೇ ವರ್ಷ, ಎರಡನೇ ದಿನವನ್ನು ಎರಡನೇ ವರ್ಷ ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತಾನೆ. ಓದುಗರಿಗೆ ಬರೆಯದೆ ಉಳಿದ ಯಾವ ದಿನಗಳೂ ಬಾಕಿ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಹಲವು ಅಸಾಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸುಲಭ ಸಾಧ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಸಾಧ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಶಕ್ತಿಯೂ ಇದೆ. ಒಂದು ಭಾನುವಾರ ನಿಮ್ಮ ಮನೆಗೆ ದಿನಪತ್ರಿಕೆ ಹಾಕುವವನು ಬರುವುದಿಲ್ಲವೆ, ಒಮ್ಮೆ ಊಹಿಸಿ. ಆಗ ನೀವು ಪತ್ರಿಕೆ ಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರದ ಅಂಗಡಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಅಂಗಡಿ ೧ ಕಿ.ಮೀ. ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನೀವು ಪ್ರಯಾಣ ದೂರ ಎನ್ನಿಸದಿರಲೆಂದು ದೂರವನ್ನು ಅರ್ಧ ಕಿ.ಮೀ.ನ ಎರಡು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅರ್ಧ ಕಿ.ಮೀ. ನಡೆದ ನಂತರ ಉಳಿದ ಅರ್ಧವನ್ನು ಪುನಃ ೧/೪ ನ ಎರಡು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿದಾಗ ಅನಂತ ಹಂತಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನಂತ ಕಾಲ ಬೇಕು. ಅಂದರೆ ನಿಮಗೆ ಕೊನೆಗೂ ದಿನಪತ್ರಿಕೆ ಕೊಳ್ಳಲು ಆಗುವುದೇ ಇಲ್ಲ! ಹೋಗಲಿ ಬಿಡಿ. ಆದರೆ ಮನೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಸುಲಭ ಮಾಡುವ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಕೈ ಹಾಕಬೇಡಿ, ಮನೆಗೆ ಕಾಲಿಡಲು ಆಗದಂತಾದೀತು.
ಈ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗದ ಎಡವಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಅನಂತವೇ ಹೊಣೆಗಾರ. ಅನಂತವನ್ನಾಧರಿಸಿದ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಅಸಂಗತಗಳು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಚಲಿತವಿದೆ. ಅನಂತವನ್ನು ಕಂಡು ಬೆರಗಾದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹರ್ಮಲ್ ವೈಲ್ ’ಗಣಿತವು ಅನಂತದ ವಿಜ್ಞಾನ’ ಎಂದು ವರ್ಣಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಅನಂತವನ್ನು ಈ ಚಿಕ್ಕ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಲ್ಲ, ಅದೆಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಬರೆದರೂ ಪರಿಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅನಂತವಾದದ್ದನ್ನು ಸಾಂತವಾದ ಪದಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ತಾನೆ ವರ್ಣಿಸುವುದು? ಅದಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಪದಗಳು ಬೇಕಾಗಬಹುದು.
